مجموعه های متناهی و نامتناهی چه هستند

مجموعه های متناهی و نامتناهی مجموعه های اعداد بازه ها

مجموعه های اعداد

مجموعه یکی از اساسی ترین منبع مفاهیم ریاضی است که بسیاری از نظریه های دیگر ریاضی در یک قرن اخیر بر مبنای آن پایه گذاری یا سازماندهی شده اند. برخی از مجموعه های اعداد که در سال‌های قبل با آنها آشنا شدیم عبارتند از: مجموعه اعداد طبیعی، مجموعه اعداد حسابی، مجموعه اعداد صحیح، مجموعه اعداد گویا، مجموعه اعداد گنگ و مجموعه اعداد حقیقی.

همانطور که ملاحظه می کنید رابطه زیر مجموعه بودن بین مجموعه اعداد بالا به صورت زیر برقرار است:

 

تمام مجموعه های اعدادی که تاکنون با آنها آشنا شده ایم زیر مجموعه هایی از اعداد حقیقی اند. در نتیجه هر عدد دلخواهی را که در نظر بگیریم باید جایی روی محور اعداد حقیقی داشته باشد و همچنین هر نقطه روی این محور نشان دهنده یک عدد حقیقی مشخص است.

بازه ها

در اینجا گونه دیگری از زیر مجموعه‌ های R را در نظر می گیریم. فرض کنید A مجموعه شامل تمام اعداد حقیقی بین ۲- و ۱ به همراه خود این دو عدد باشد. چنین زیر مجموعه هایی از R که مشخص کننده یک قطعه از محور اعداد حقیقی باشد را بازه یا فاصله می‌نامیم. بازه ها در ریاضیات از اهمیت نسبتاً زیادی برخوردارند و با نماد زیر نمایش داده می شوند. بازه ها به انواع مختلف بازه باز و بازی بسته و بازه نیم باز تقسیم می‌شوند.

رای مثال می خواهیم اجتماع و اشتراک دو بازه A و B را به دست آوریم. نمایش هندسی هر دو بازه را مطابق شکل روی یک محور رسم می کنیم:

 

از روی شکل دیده می شود که اجتماع A و B برابر است با مجموعه تمام اعداد حقیقی بزرگتر از ۱- یعنی:

 

همچنین با توجه به شکل ملاحظه می شود که اشتراک A و B برابر است با مجموعه تمام اعداد حقیقی بین ۲ و ۴ به همراه خود عدد ۴ یعنی:

 

مجموعه های متناهی و نامتناهی

مجموعه هایی را که تعداد اعضای آنها یک عدد حسابی است مجموعه های متناهی می نامیم. مجموعه ای را که نتوان تعداد اعضای آن را با یک عدد حسابی بیان کرد مجموعه نامتناهی نامیده می شود.

دنباله حسابی واسطه حسابی دنباله هندسی واسطه هندسی

دنباله حسابی

در صفحات قبل، مثال هایی از الگوهای عددی خطی ارائه شد. نام دیگر این بدون الگو های عددی، دنباله های حسابی است. به عبارت دیگر:

دنباله ای که در آن هر جمله (به جز جمله اول) با اضافه شدن عددی ثابت به جمله قبل از خودش به دست می آید، یک دنباله حسابی نامیده می شود و به آن عدد ثابت، قدر نسبت دنباله می گویند.

فعالیت

۱- سال های برگزاری مسابقات المپیک از آغاز هزاره سوم میلادی به بعد به صورت زیر است که جملات یک دنباله حسابی اند.

همانطور که مشاهده شد:

جمله nام یک دنباله حسابی با جمله اول t1 و قدر نسبت d به صورت tn=t1+(n-1)d است.

مثال:

۱- در دنباله های حسابی زیر با مشخص کردن قدر نسبت،  سه جمله بعدی را بنویسید و سپس جمله عمومی هر کدام را به دست آورید.

پ) آیا an و bn هر کدام می توانند جمله عمومی دنباله حسابی باشند؟ چرا؟ اگر جواب مثبت است قدر نسبت هر یک را مشخص کنید.

ت)  سارا در هر ماه حدود یک ساعت و فاطمه ماهانه تقریباً ۱۵۰ دقیقه با تلفن همراه مکالمه می کنند. به هر یک از آنها کدام سیم‌ کارت را پیشنهاد می کنید؟ چرا؟

Leave a reply

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>